Предел сложной функции

Если: 1. $\lim_{x \to a} f(x) = y_{0}$ 2. $\forall{x \in \dot{O}(a)}\mathpunct{:}~ f(x) \neq y_{0}$ 3. $\lim_{y \to y_{0}} g(y) = A$ То: $\exists{\lim_{x \to a} h(x) = A}$, где $h(x) = g(f(x))$

Определение $g(y) \to A$: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\sigma(\varepsilon)}~~ \forall{y}\mathpunct{:}~ 0<|y-y_{0}| < \sigma \Rightarrow |g(y) - A| < \varepsilon$$ Определение $f(x) \to y_{0}$ вместе с условием 2: $$\forall{\sigma(\varepsilon)}~~ \exists{\delta(\sigma(\varepsilon)) = \delta(\varepsilon)}\mathpunct{:}~~ 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow 0 < |f(x) - y_{0}| < \sigma$$ Получаем: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\sigma(\varepsilon), \delta(\sigma)}\mathpunct{:}~~ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow 0 < |f(x) - y_{0}| < \sigma \Rightarrow |g(f(x)) - A| < \varepsilon$$ А значит: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta(\varepsilon)}\mathpunct{:}~~ 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |g(f(x)) - A| < \varepsilon$$ что в точности является определением предела $h(x) \to A~~~\square$